terça-feira, 2 de fevereiro de 2010

Porta da esperança

Comecei a ler um livro bem interessante sobre o aleatório, a aleatoriedade em nossas vidas e em como o nosso cérebro não trabalha bem com a incerteza e a possibilidade. Para tanto, dá antes algumas aulinhas de cálculo de probabilidade.

Eu sempre gostei de desafiar meus neurônios com o que quer que fosse, de palavras cruzadas a geometria. A sensação de entender algo que era misterioso é maravilhosa. Pois no livro, o autor conta o seguinte caso: Imagine um programa de TV em que há 3 portas. Uma delas esconde um carro e nas outras duas não há nada. O participante escolhe uma das portas, por exemplo, a porta A. Então, o apresentador que SABE onde está o prêmio, manda abrir uma das cortinas não escolhidas onde ele sabe que não há nada, por exemplo, a porta B. Com as duas portas restantes ainda fechadas, o apresentador pergunta se o participante quer manter sua escolha ou prefere trocar de porta. Neste caso, o que seria melhor para o participante? Manter a escolha, ou trocar de porta?

Bom, se são duas as portas e um prêmio apenas, a possibilidade de que ele esteja atrás de uma ou de outra é de 50% para cada, certo? ERRADO. Uma colunista americana (que está no livro dos recordes como o maior QI do mundo) respondeu a uma carta em sua coluna que propunha essa situação dizendo que se o participante trocasse de porta ele teria 2x mais chances de ganhar o prêmio... Mas como pode ser?

É ao mesmo tempo óbvio e difícil de entender. O problema está no papel do apresentador, que não pode ser desprezado. Vejamos. A chance inicial do participante de acertar a porta com o carro era de 1/3, já que eram 3 portas. É evidente que, das duas portas não escolhidas, pelo menos uma delas estará vazia e a questão é saber se ambas estão vazias ou se uma tem um carro atrás. Muito bem. Quando o apresentador revela propositalmente que na porta B não há nada - ele já sabia disso, está dizendo uma coisa que já sabíamos - que em pelo menos uma das portas não há nada - e outra que não sabíamos - se tivermos errado o nosso chute inicial (A), a porta correta era a (C).

Pois bem. A nossa chance inicial de acertar era de 1/3, e de errar, 2/3. Ao contrário do que possa parecer, exatamente porque é claro que atrás de uma das duas portas preteridas não havia nada, isso não se altera após a porta B ser aberta. Contínuamos com 1/3 de chance de ter acertado e com 2/3 de chance de ter errado. É mais fácil ter errado... Porém, como só resta a porta C fechada, ela representa as possibilidades de todas as não escolhidas, ou 2/3. Portanto, é melhor trocar de porta (chance de 2/3) do que permanecer na mesma (chance de 1/3).

Parece que na época essa colunista foi execrada pelo público e pelos matemáticos. É estranho, mas ela está certa. É mais fácil de entender se você imaginar que são 100 portas. Escolhemos uma (chance de 1/100) e então o apresentador vai abrindo todas as que ele SABE que não tem nada (esse SABE é fundamental). Das 99 que você não escolheu, ele abre 98, deixa uma fechada e te pergunta se você quer trocar. Se você quiser ter 99% de chance de ganhar um carro, é bom aceitar...